Question

【題目】已知直三棱柱的底面為正三角形，分別是，上的點，且滿足，．

（1）求證：平面平面；

（2）設直三棱柱的棱均相等，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）取的中點，連接．

因為，，所以．…………2分

在等邊中，由是的中點，知，所以．

因為三棱柱是直三棱柱，所以平面，…………3分

又因為平面，所以．

而，所以平面．

又平面，所以平面平面．…………5分

（2）以為坐標原點，以分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．………6分

設直三棱柱的棱均為，則，，，

所以，．………8分

設是平面的一個法向量，則

由，得，取，則．………9分

易知平面的一個法向量，………10分

所以．…………11分

由圖易知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．……12分

【命題意圖】本題主要考查空間平面與平面的垂直關系、運用空間向量求二面角，意在考查邏輯思維能力、

空間想象能力、邏輯推證能力、計算能力．