Question

數(shù)列{a_n}的項(xiàng)是由1或0構(gòu)成，且首項(xiàng)為1，在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1之間有2k-1個(gè)0，即數(shù)列{a_n}為：1，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，…，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₃=

45

．

Answer 1

分析：分析出連續(xù)出現(xiàn)0的規(guī)律，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求出k+1個(gè)1前所有0的個(gè)數(shù)，從而得到第k+1個(gè)1前所有項(xiàng)，求出滿足k²+k≤2013的最大自然數(shù)k，則答案可求．

解答：解：連續(xù)出現(xiàn)0的個(gè)數(shù)為1，3，5，7，9，…2k-1，…成等差數(shù)列．
∴第k+1個(gè)1前所有0的個(gè)數(shù)為1+3+5+…+（2k-1）=

k[1+(2k-1)]

2

=k2
則第k+1個(gè)1前所有項(xiàng)為k²+k，
由k²+k≤2013，解得-

1

2

-

8053

2

≤k≤-

1

2

+

8053

2

，
∵k∈N^*，∴當(dāng)k=44時(shí)，第45個(gè)1前共有1980項(xiàng)．
故S₂₀₁₃=45+33×0=45．
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的求和，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是中檔題．