Question

已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）先根據(jù)題中條件求出、、，進(jìn)而可以求出橢圓的方程；（2）先由直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由、、三點(diǎn)共線，利用平面向量共線進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，于是得到直線的斜率，最終證明為定值.
試題解析：（1）由直線與圓得，
由，得，所以，
所以橢圓的方程為；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024031483589.png" style="vertical-align:middle;" />，不為橢圓定點(diǎn)，即的方程為，①②
將①代入，解得，
又直線的方程為， ②
由、、三點(diǎn)共線可得，
所以的斜率為，則（定值）.