Question

【題目】已知雙曲線E：﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求雙曲線E的離心率；
（2）如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1 ， l2于A，B兩點（A，B分別在第一、第四象限），且△OAB的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）因為雙曲線E的漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=﹣2x，
所以=2．
所以=2．
故c=a，
從而雙曲線E的離心率e==．
（2）由（1）知，雙曲線E的方程為﹣=1．
設直線l與x軸相交于點C，
當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|=a，|AB|=4a，
所以|OC||AB|=8，
因此a4a=8，解得a=2，此時雙曲線E的方程為﹣=1．
以下證明：當直線l不與x軸垂直時，雙曲線E的方程為﹣=1也滿足條件．
設直線l的方程為y=kx+m，依題意，得k＞2或k＜﹣2；
則C（﹣，0），記A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由得y1=，同理得y2=，
由S△OAB=|OC||y1﹣y2|得：
|﹣||﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．
由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，
因為4﹣k2＜0，
所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），
又因為m2=4（k2﹣4），
所以△=0，即直線l與雙曲線E有且只有一個公共點．
因此，存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E，且E的方程為﹣=1．
【解析】（1）依題意，可知=2，易知c=a，從而可求雙曲線E的離心率；
（2）由（1）知，雙曲線E的方程為﹣=1，設直線l與x軸相交于點C，分l⊥x軸與直線l不與x軸垂直討論，當l⊥x軸時，易求雙曲線E的方程為﹣=1．當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為y=kx+m，與雙曲線E的方程聯立，利用由S△OAB=|OC||y1﹣y2|=8可證得：雙曲線E的方程為﹣=1，從而可得答案．