Question

(1)如圖所示，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真．

(2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)．

 

Answer 1

（1）見解析（2）逆命題為：a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b.真命題

【解析】(1)記c∩b＝A，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作PO⊥π，垂足為O，則O∈c.

因?yàn)?/span>PO⊥π，a?π，

所以直線PO⊥a.

又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b＝P，

所以a⊥平面PAO.

又c?平面PAO，

所以a⊥c.

(2)逆命題為：a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b.逆命題為真命題．