Question

【題目】已知函數：f（x）=﹣x3﹣3x2+（1+a）x+b（a＜0，b∈R）．
（1）令h（x）=f（x﹣1）﹣b+a+3，判斷h（x）的奇偶性，并討論h（x）的單調性；
（2）若g（x）=|f（x）|，設M（a，b）為g（x）在[﹣2，0]的最大值，求M（a，b）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：h（x）=﹣（x﹣1）3﹣3（x﹣1）2+（1+a）x+2，

h（﹣x）=（x+1）3﹣3（x+1）2﹣x（a+1）+2，

故h（x）是非奇非偶函數；

h′（x）=﹣3x2+a+4，

a+4≤0即a≤﹣4時，h′（x）≤0，

h（x）在R遞減；

a+4＞0即a＞﹣4時，

令h′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜ ，

令h′（x）＜0，解得：x＜﹣ 或x＞ ，

故h（x）在（﹣∞，﹣ ）遞減，在（﹣ ， ）遞增，

在（ ，+∞）遞減

（2）解：g（x）=|f（x）|=|x3+3x2﹣（1+a）x﹣b|，（a＜0），

則f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，

令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，

則h′（t）=3t2﹣（a+4），t∈[﹣1，1]，

①當a≤﹣4時，h′（t）≥0恒成立，

此時函數為增函數，

則M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}

②當﹣4＜a＜0時，h（t）有兩個極值點t1，t2，不妨設t1＜t2，

（i）當﹣1≤a＜0時，t1=﹣ ≤﹣1，t2= ≥1，

此時函數為減函數，

則M（a，b）=max{|h（﹣1）|，|h（1）|}=max{|2a﹣b+6|，|b|}

（ii）當﹣4＜a＜﹣1時，t1=﹣ ＞﹣1，t2= ＜1，

此時函數在[﹣1，t1]上遞增，在[t1，t2]上遞減，在[t2，1]上遞增，

則M（a，b）=max{|2a﹣b+6|，|b|，|2（ ）3+a﹣b+3|，|﹣2（ ）3+a﹣b+3|}

則M（a，b）≥min{|a+3|，2（ ）3}，

由|a+3|=2（ ）3得：a=﹣1，或a=﹣ ，

當a=﹣1時，M（a，b）≥2，

當a=﹣ 時，M（a，b）≥ ，

故當a=﹣ ，b=﹣ 時，M（a，b）的最小值為

【解析】（1）根據已知求也函數h（x）的解析式，結合函數奇偶性的定義，可判斷函數的奇偶性，求導，可分析出h（x）的單調性；（2）若g（x）=|f（x）|，則f（t﹣1）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，令h（t）=t3﹣（a+4）t+a﹣b+3，t∈[﹣1，1]，結合導數法分類討論，可得M（a，b）的最小值．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．