Question

已知：兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線段AA₁的長度為d．在直線a、b上分別取點E、F，設A₁E=m，AF=n．求證：EF=

d2+m2+n2±2mncosθ

．

Answer 1

分析：由題意作輔助面，作出兩條異面直線a、b所成的角，再由垂直關系通過作輔助線把EF放在直角三角形中求解．

解答：解：設經過b與a平行的平面為α，經過a和AA₁的平面為β，α∩β=c，則c∥a．
因而b，c所成的角等于θ，且AA₁⊥c．
∵AA₁⊥b，∴AA₁⊥α．
根據兩個平面垂直的判定定理，β⊥α．
在平面β內作EG⊥c，垂足為G，則EG=AA₁．
根據兩個平面垂直的性質定理，EG⊥α．連接FG，則EG⊥FG．
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²．
∵AG=m，∴在△AFG中，FG²=m²+n²-2mncosθ．
∵EG²=d²，∴EF²=d²+m²+n²-2mncosθ．
如果點F（或E）在點A（或A₁）的另一側，則
EF²=d²+m²+n²+2mncosθ．
因此，EF=

d2+m2+n2±2mncosθ

．

點評：本題利用條件作出輔助面和輔助線，結合線面、面面垂直的定理，在直角三角形中求公垂線的長；考查空間圖形的線面關系，空間想象能力和邏輯思維能力．