Question

已知橢圓的一個焦點為，與兩坐標軸正半軸分別交于A，B兩點（如圖），向量與向量=共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過點C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由向量與向量=共線，可得
∵焦點為，∴a²-b²=8，∴b²=8，a²=16
∴橢圓的方程為；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且x₁＜0，x₂＞0，
PQ的方程為y=kx+2，代入橢圓方程消去y，可得（2+k²）x²+4kx-12=0
∴x₁+x₂=-①，x₁x₂=-②
設△POC與△QOC面積之比為λ，即
結合①②得（1-λ）x₁=-，λx₁²=-
∴=＞
∴
∴△POC與△QOC面積之比的取值范圍為．
分析：（1）利用向量共線，確定a，b的關系，結合橢圓的焦點坐標，即可求得橢圓的方程；
（2）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，即可求得比值的范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．