Question

【題目】已知二次函數f（x）=x2-（2m+1）x+m．

（1）若方程f（x）=0有兩個不等的實根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，求m的取值范圍；

（2）若對任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（-，0） （2）[-，+∞）

【解析】

（1）二次函數f（x）=x2-（2m+1）x+m開口向上，方程f（x）=0有兩個不等的實根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，找到等價條件，解不等式組即可；

（2）把對任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，等價轉換為對任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，得到關于m的不等式組，求解即可求得m的取值范圍．

（1）由方程f（x）=0有兩個不等的實根x1，x2，且-1＜x1＜0＜x2＜1，

則，解得-＜m＜0，

∴m的取值范圍是（-，0）；

（2）對任意的x∈[1，2]，≤2恒成立，即對任意的x∈[1，2]，x2-（2m+1）x+m≤2x恒成立，

∴對任意的x∈[1，2]，x2-（2m+3）x+m≤0恒成立，

則，解得m≥-，

∴m的取值范圍是[-，+∞）．