【題目】如圖，在棱長均為4的三棱柱
中， 
分別是
和
的中點.
（1）求證： 
平面
（2）若平面
平面
，求三棱錐
的體積.
【答案】（1）證明見解析（2）8
【解析】試題分析：（1）欲證A1D1∥平面AB1D，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證A1D1與平面AB1D內一直線平行，連接DD1，根據中位線定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，則四邊形B1BDD1為平行四邊形，同理可證四邊形AA1D1D為平行四邊形，則A1D1∥AD
又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，滿足定理所需條件；
（2）根據面面垂直的性質定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A﹣B1BC的高，求出三棱錐A﹣B1BC的體積，從而求出三棱錐B1﹣ABC的體積．
試題解析：
（1）證明：如圖，連結
.在三棱柱
中，
因為
分別是
與
的中點，所以
，且
.
所以四邊形
為平行四邊形，所以
，且
.
又
所以
，
所以四邊形
為平行四邊形，所以
.
又
平面
， 
平面
，故
平面
.
（2）解：（方法1)
在
中，因為
， 
為
的中點，所以
.
因為平面
平面
，交線為
， 
平面
,
所以
平面
，即
是三棱錐
的高.
在
中，由
，得
.
在
中， 
，
所以
的面積
.
所以三棱錐
的體積，即三棱錐
的體積
.
(方法 2)在
中，因為
，
所以
為正三角形，因此
.
因為平面
平面
，交線為
， 
平面
，
所以
平面
，即
是三棱錐
的高.
在
中，由
，得
的面積
.
在
中，因為
，所以
.
所以三棱錐
的體積
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學高二年級開設五門大學先修課程，其中屬于數學學科的有兩門，分別是線性代數和微積分，其余三門分別為大學物理，商務英語以及文學寫作，年級要求每名學生只能選修其中一科，該校高二年級600名學生各科選課人數統計如下表：
其中選修數學學科的人數所占頻率為0.6，為了了解學生成績與選課情況之間的關系，用分層抽樣的方法從這600名學生中抽取10人進行分析.
（1）從選出的10名學生中隨機抽取3人，求這3人中至少2人選修線性代數的概率；
（2）從選出的10名學生中隨機抽取3人，記
為選擇線性代數人數與選擇微積分人數差的絕對值，求隨機變量
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2017年“一帶一路”國際合作高峰論壇于今年5月14日至15日在北京舉行.為高標準完成高峰論壇會議期間的志愿服務工作，將從27所北京高校招募大學生志愿者，某調查機構從是否有意愿做志愿者在某高校訪問了80人，經過統計，得到如下丟失數據的列聯表：（
，表示丟失的數據）
無意愿 | 有意愿 | 總計 | |
男 |
|
| 40 |
女 | 5 |
|
|
總計 | 25 |
| 80 |
（1）求出
的值，并判斷：能否有99.9%的把握認為有意愿做志愿者與性別有關；
（2）若表中無意愿做志愿者的5個女同學中，3個是大學三年級同學，2個是大學四年級同學.現從這5個同學中隨機選2同學進行進一步調查，求這2個同學是同年級的概率.
附參考公式及數據： 
，其中
.
| 0.40 | 0.25 | 0.10 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.708 | 1.323 | 2.706 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】如圖，已知四棱錐
的底面為矩形，D為
的中點，AC⊥平面BCC1B1．
（Ⅰ）證明：AB//平面CDB1;
（Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=
,
（1）求BD的長；
（2）求B1D與平面ABB1所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“世界睡眠日”定在每年的3月21日,某網站于2017年3月14日到3月20日持續一周網上調查公眾日平均睡眠的時間(單位:小時),共有2 000人參加調查,現將數據整理分組后如下表所示.
序號(i) | 分組睡眠時間 | 組中值(mi) | 頻數(人數) | 頻率(fi) |
1 | [4,5) | 4.5 | 80 | |
2 | [5,6) | 5.5 | 520 | 0.26 |
3 | [6,7) | 6.5 | 600 | 0.30 |
4 | [7,8) | 7.5 | ||
5 | [8,9) | 8.5 | 200 | 0.10 |
6 | [9,10] | 9.5 | 40 | 0.02 |
(1)求出表中空白處的數據,并將表格補充完整.
(2)畫出頻率分布直方圖.
(3)為了對數據進行分析,采用了計算機輔助計算.程序框圖如圖所示,求輸出的S值,并說明S的統計意義.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的極坐標方程是
，以極點為原點，極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線
的參數方程為
（
為參數）.
（Ⅰ）寫出直線
的普通方程與曲線
的直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線
經過伸縮變換
得到曲線
，若點
，直線
與
交與
， 
，求
， 
.
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【題目】某港口有一個泊位，現統計了某月100艘輪船在該泊位停靠的時間（單位：小時），如果停靠時間不足半小時按半小時計時，超過半小時不足1小時按1小時計時，以此類推，統計結果如表：
停靠時間 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 6 |
輪船數量 | 12 | 12 | 17 | 20 | 15 | 13 | 8 | 3 |
（Ⅰ）設該月100艘輪船在該泊位的平均停靠時間為
小時，求
的值；
（Ⅱ）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠
小時，且在一晝夜的時間段中隨機到達，求這兩艘輪船中至少有一艘在停靠該泊位時必須等待的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的右焦點為
，右頂點為
，設離心率為
，且滿足
，其中
為坐標原點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點（0,1）的直線
與橢圓交于
，
兩點，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2016年時紅軍長征勝利80周年，某市電視臺舉辦紀念紅軍長征勝利80周年知識問答，宣傳長征精神.首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進行支持簽名活動，其次在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運之星，每人獲得一個紀念品，其數據表格如下：
（Ⅰ）求此活動中各公園幸運之星的人數；
（Ⅱ）從乙和丙公園的幸運之星中任選兩人接受電視臺記者的采訪，求這兩人均來自乙公園的概率；
（Ⅲ）電視臺記者對乙公園的簽名人進行了是否有興趣研究“紅軍長征”歷史的問卷調查，統計結果如下（單位：人）：
據此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為有興趣研究“紅軍長征”歷史與性別有關.
附臨界值表及公式： 
，其中
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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