Question

【題目】已知圓, 在拋物線上,圓過原點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切.

(Ⅰ) 求的方程；

(Ⅱ) 點(diǎn),點(diǎn)（與不重合）在直線上運(yùn)動,過點(diǎn)作的兩條切線,切點(diǎn)分別為, .求證： （其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

【答案】（I）;(Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析：（I）原點(diǎn)在圓上，拋物線準(zhǔn)線與圓相切，可得三者之間的關(guān)系，進(jìn)而求出的方程；(Ⅱ) 設(shè)， ， ，利用導(dǎo)數(shù)求得兩切線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系可證，即證兩角相等．

試題解析：（I）解法一：因為圓的圓心在拋物線上且與拋物線的準(zhǔn)線相切，且圓半徑為，

故，

因為圓過原點(diǎn)，所以，所以，

又，所以，

因為，所以，所以拋物線方程．

解法二：因為圓的圓心在拋物線上且與拋物線的準(zhǔn)線相切，由拋物線的定義，

圓必過拋物線的焦點(diǎn)，

又圓過原點(diǎn)，所以，

又圓的半徑為3，所以，又，

又，得，所以．所以拋物線方程．

解法三：因為圓與拋物線準(zhǔn)線相切，所以，

且圓過又圓過原點(diǎn)，故，可得，

解得，所以拋物線方程

(Ⅱ) 解法一：設(shè)， ， ， 方程為，所以， 5分

求得拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，所以切線方程為： ，

即，化簡得，

又因過點(diǎn)，故可得， ，

即，同理可得，

所以為方程的兩根，所以， ，

因為，所以，

化簡 ．

所以．

解法二：依題意設(shè)點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的切線為，所以，

所以，所以，即，

不妨設(shè)切線的斜率為，點(diǎn)， ，

所以， ，又，所以，所以，

所以， ，即點(diǎn)，同理點(diǎn)，

因為，所以，同理，

所以 ，

所以．