Question

【題目】點(diǎn)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1）(,).（2）

【解析】

（1）根據(jù)條件列關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)得方程組，解得結(jié)果，（2）先根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式結(jié)合條件解得點(diǎn)M坐標(biāo)，再建立的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最小值.

解:（1）由已知可得點(diǎn)A(－6,0),F(4,0)

設(shè)點(diǎn)P(,),則={+6,},={－4,},

由已知可得

則2+9－18=0,解得=或=－6.

由于>0,只能=,于是=.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,).

（2）直線AP的方程是－+6=0.

設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是.

于是=,又－6≤≤6,解得=2.

橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離為,

則,

由于－6≤≤6, ∴當(dāng)=時,取得最小值.