Question

直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A．B兩點，O為坐標原點．
（1）若k=1（2），求△AOB的面積
（3）若A．B在雙曲線的左右兩支上，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據弦長公式求出|AB|，利用點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，利用三角形面積公式即可求得△AOB的面積；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為A，B在雙曲線的左右兩支上，所以有x₁x₂＜0，根據韋達定理即可得不等式，解出即可；

解答：解：（1）當k=1時，y=x+1，
由

y=x+1 3x2-y2=1

得，x²-x-1=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

12-4(-1)

=

10

，
點O到直線AB的距離為d=

1

2

，
所以△AOB的面積為：

1

2

×|AB|•d=

1

2

×

10

×

1

2

=

5

2

；
（2）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
因為A．B在雙曲線的左右兩支上，所以

3-k2≠0 x1x2= -2 3-k2 ＜0

，解得-

3

＜k＜

3

，
所以實數k的取值范圍為：-

3

＜k＜

3

．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、弦長公式、點到直線的距離公式及三角形的面積公式，考查學生對基本公式的熟練運用，屬中檔題．