Question

【題目】將函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的圖象上的每一點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的一半，再將圖象向右平移 個單位長度得到函數y=sinx的圖象．
（1）直接寫出f（x）的表達式，并求出f（x）在[0，π]上的值域；
（2）求出f（x）在[0，π]上的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得，把函數y=sinx的圖象向左平移 個單位長度得到y=sin（x+ ）的圖象，

再把橫坐標縮短為原來的2倍，可得y=sin（ x+ ）=cos[ ﹣（ x+ ）]=cos（ x﹣ ）的圖象，

∴ ．

∵0≤x≤π，∴ ，∴ ，∴ ，

當x=0時， ；當 時，f（x）=1

（2）解：令 ，k∈Z，解得 ，k∈Z，

所以單調遞增區間為 ，k∈Z；

同理單調遞減區間為 ，k∈Z，

∵x∈[0，π]，∴f（x）的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為

【解析】（1）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，得出結論．（2）根據f（x）的解析式，以及正弦函數的單調性，得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識，掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．