Question

若非零實(shí)數(shù)m、n滿足2m+n=0，且在二項(xiàng)式（ax^m+bxⁿ）¹²（a＞0，b＞0）的展開式中當(dāng)且僅當(dāng)常數(shù)項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng)，
（1）求常數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng)；
（2）求

a

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出通項(xiàng)T_r+1=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}，由

m(12-r)+nr=0 2m+n=0，m≠0，n≠0

，求出r=4，得常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng)．
（2）由只有常數(shù)項(xiàng)為最大項(xiàng)且a＞0，b＞0，可得

C 4 12 a8b4＞ C 5 12 a7b5 C 4 12 a8b4＞ C 3 12 a9b3

，由此求得

a

b

的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)T_r+1=C₁₂^r（ax^m）^12-r（bxⁿ）^r為=C₁₂^ra^12-r b^r x^{m（12-r）+nr}為常數(shù)項(xiàng)，------（1分）
則可由

m(12-r)+nr=0 2m+n=0，m≠0，n≠0

，--（3分）
解得 r=4，------（5分） 所以常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng)…（7分）
（2）由只有常數(shù)項(xiàng)為最大項(xiàng)且a＞0，b＞0，可得

C 4 12 a8b4＞ C 5 12 a7b5 C 4 12 a8b4＞ C 3 12 a9b3

，-----（10分）
即

12！•a8•b4

4!•8!

＞

12!•a7•b5

5!•7!

，且

12！•a8•b4

4!•8!

＞

12!•a9•b3

3!•9!

．
即5a＞8b，且 9b＞4a，再由a＞0，b＞0 解得

a

b

＞

5

8

 且

a

b

＜

9

4

，
解得

9

4

＞

a

b

＞

8

5

．-----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．