Question

（本小題滿分12分）

如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；

（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）連結(jié)AC、BD交于G，連結(jié)FG，

∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，

在直角三角形BCE中，CE=

 

在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，

 

∴二面角B-AC-E為

（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距離等于B到平面ACE的距離，BF⊥平面ACE，線段BF的長(zhǎng)度就是點(diǎn)B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為

 

另法：過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)O. OE=1.

∵二面角D—AB—E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

設(shè)D到平面ACE的距離為h， 

平面BCE， 

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，如圖.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中點(diǎn)，

 設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，

則

 

解得

    

令得是平面AEC的一個(gè)法向量.

又平面BAC的一個(gè)法向量為，

 

∴二面角B—AC—E的大小為

 

（III）∵AD//z軸，AD=2，∴，

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離

 

【解析】略