Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，且橢圓過(guò)點(diǎn)，，且是橢圓上位于第一象限的點(diǎn)，且的面積.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，，直線，與軸相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，則是否為定值，如果是定值，求出這個(gè)定值，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題（1）通過(guò)已知條件首先求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合三角形的面積計(jì)算公式，即可求得的坐標(biāo)；（2）將直線的方程設(shè)出，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否為定值即可.

試題解析：（1）∵橢圓過(guò)點(diǎn)，，

∴，計(jì)算得，，∴橢圓的方程為.

∵的面積，∴，∴，代入橢圓方程.

∵，∴，∴；（2）法一：設(shè)直線的方程為，，，

直線的方程為，可得，即，

直線的方程為，可得，即.

聯(lián)立，消去，整理，得.

由，可得，，，

∴為定值，且.

法二：設(shè)，，，，直線，，的斜率分別為，，，由，得，，可得，，，

，

由，令，得，即，

同理得，即，則

∴為定值，該定值為.