Question

已知函數．
（1）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出化簡；
（2）令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需h（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，然后建立不等關系，解之即可求出p的取值范圍．
解答：解：（1）當p=2時，函數，
f（1）=2-2-2ln1=0.，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），即y=2x-2．

（2）．
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，
只需h（x）≥0在（0，+∞）內恒成立．
由題意p＞0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，
∴，只需，
即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，正實數p的取值范圍是[1，+∞）．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性等基礎題知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于基礎題．