Question

已知函數f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a為常數)．

(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處切線的方程；

(2)當a＞0時，討論函數y＝f(x)在區間(0,1)上的單調性，并寫出相應的單調區間．

 

Answer 1

（1）y＝2x.（2）①當0＜a＜時，f(x)的單調增區間是(0，a)和，單調減區間是，②當a＝時，f(x)在區間(0,1)上是單調增函數．③當＜a＜1時，f(x)的單調增區間是和(a,1)，單調減區間是，④當a≥1時，f(x)的單調增區間是，單調減區間是

【解析】(1)當a＝－1時，f(x)＝x2＋x－ln x，則f′(x)＝2x＋1－，(2分)

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的方程為：y－2＝2(x－1)，

即：y＝2x.(6分)

(2)由題意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝ (x＞0)，

由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝a，(8分)

①當0＜a＜時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1

由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，

所以函數f(x)的單調增區間是(0，a)和，單調減區間是，(10分)

②當a＝時，f′(x)＝≥0，且僅當x＝時，f′(x)＝0，?

所以函數f(x)在區間(0,1)上是單調增函數．(11分)

③當＜a＜1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，

所以函數f(x)的單調增區間是和(a,1)，單調減區間是，(13分)

④當a≥1時，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，

所以函數f(x)的單調增區間是，單調減區間是.(16分)