Question

（2013•湖北）如圖，某地質隊自水平地面A，B，C三處垂直向地下鉆探，自A點向下鉆到A₁處發現礦藏，再繼續下鉆到A₂處后下面已無礦，從而得到在A處正下方的礦層厚度為A₁A₂=d₁．同樣可得在B，C處正下方的礦層厚度分別為B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．過AB，AC的中點M，N且與直線AA₂平行的平面截多面體A₁B₁C₁-A₂B₂C₂所得的截面DEFG為該多面體的一個中截面，其面積記為S_中．
（Ⅰ）證明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S．在估測三角形ABC區域內正下方的礦藏儲量（即多面體A₁B₁C₁-A₂B₂C₂的體積V）時，可用近似公式V_估=S_中-h來估算．已知V=

1

3

（d₁+d₂+d₃）S，試判斷V_估與V的大小關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先利用線面垂直、線面平行的性質及平行公理證出四邊形DEFG的一組對邊相互平行，然后由梯形中位線知識證明一組對邊不相等，則可證明中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）由題意可證得MN是中截面梯形DEFG的高，根據四邊形A₁A₂B₂B₁，A₁A₂C₂C₁均是梯形，利用梯形的中位線公式吧DE，FG用d₁，d₂，d₃表示，這樣就能把V_估用含有a，h，d₁，d₂，d₃的代數式表示，把V=

1

3

（d₁+d₂+d₃）S與V_估作差后利用d₁，d₂，d₃的大小關系可以判斷出差的符號，及能判斷V_估與V的大小關系．

解答：（Ⅰ）依題意A₁A₂⊥平面ABC，B₁B₂⊥平面ABC，C₁C₂⊥平面ABC，
所以A₁A₂∥B₁B₂∥C₁C₂，又A₁A₂=d₁，B₁B₂=d₂，C₁C₂=d₃，且d₁＜d₂＜d₃．
因此四邊形A₁A₂B₂B₁，A₁A₂C₂C₁均是梯形．
由AA₂∥平面MEFN，AA₂?平面AA₂B₂B，且平面AA₂B₂B∩平面MEFN=ME，
可得AA₂∥ME，即A₁A₂∥DE．同理可證A₁A₂∥FG，所以DE∥FG．
又M，N分別為AB，AC的中點，
則D，E，F，G分別為A₁B₁，A₂B₂，A₂C₂，A₁C₁ 的中點，
即DE、FG分別為梯形A₁A₂B₂B₁、A₁A₂C₂C₁的中位線．
因此DE=

1

2

(A1A2+B1B2)=

1

2

(d1+d2)，FG=

1

2

(A1A2+C1C2)=

1

2

(d1+d3)，
而d₁＜d₂＜d₃，故DE＜FG，所以中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）V_估＜V．證明：
由A₁A₂⊥平面ABC，MN?平面ABC，可得A₁A₂⊥MN．
而EM∥A₁A₂，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．
由MN是△ABC的中位線，可得MN=

1

2

BC=

1

2

a，即為梯形DEFG的高，
因此S中=S梯形DEFG=

1

2

(

d1+d2

2

+

d1+d3

2

)•

a

2

=

a

8

(2d1+d2+d3)，
即V估=S中•h=

ah

8

(2d1+d2+d3)．又
S=

1

2

ah，所以V=

1

3

(d1+d2+d3)S=

ah

6

(d1+d2+d3)．
于是V-V估=

ah

6

(d1+d2+d3)-

ah

8

(2d1+d2+d3)=

ah

24

[(d2-d1)+(d3-d1)]．
由d₁＜d₂0，d₃-d₁＞0，故V_估＜V．

點評：本題考查直三棱柱的性質，體積，線面關系及空間想象能力，解答該題的關鍵是要有較強的空間想象能力，避免將各線面間的關系弄錯，此題是中高檔題．