Question

【題目】已知函數．

（1）若時，直線與函數圖象有三個相異的交點，求實數的取值范圍；

（2）討論的單調性．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）利用導數分析函數的單調性與極值，利用數形結合思想可得出實數的取值范圍；

（2）求得導數，對實數分和兩種情況討論，分析導數的符號變化，進而可得出函數的單調遞增區間和減區間.

（1）當時，，．

令，得或，當變化時，，的變化情況如下表：

		極小值		極大值

所以，函數的單調遞減區間為和，單調遞增區間為.

當時，函數有極小值；當時，函數有極大值，如下圖所示：

若直線與函數圖象有三個相異的交點，則，

因此，實數的取值范圍為；

（2），．

①當時，，．

令，得；令，得.

所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

②當時，令，得或；令，得.

所以，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

③當時，令，得；令，得或.

所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和.

綜上所述，

當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為和.