Question

對于函數y=f（x），如果存在區間[m，n]，同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]是單調的；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域是[2m，2n]，則稱[m，n]是該函數的“倍值區間”．若函數f（x）=

x+1

+a存在“倍值區間”，則a的取值范圍是（　　）

• A、（-

  17

  8

  ，+∞）
• B、[-

  17

  8

  ，+∞）
• C、（-

  17

  8

  ，-1]
• D、（-

  17

  8

  ，-2]

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：易得函數在區間[m，n]是單調遞增的，由f（m）=2m，f（n）=2n，可得故m、n是方程

x+1

+a=2x的兩個實數根，由此構造函數，分析出滿足條件的a的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）=

x+1

+a為單調遞增函數，
若函數f（x）=

x+1

+a存在“倍值區間”，
則f（m）=2m，且f（n）=2n，
故m、n是方程

x+1

+a=2x的兩個實數根，
即a=2x-

x+1

在[-1，+∞）上有兩個不等的實根，
令y=2x-

x+1

，則y′=2-

1

2 x+1

，
令y′=2-

1

2 x+1

=0，則x=-

15

16

，
當x∈[-1，-

15

16

）時，y′＜0，當x∈（-

15

16

，+∞）時，y′＞0，
故當x=-

15

16

時，y=2x-

x+1

取最小值-

7

8

，
又∵當x=-1時，y=2x-

x+1

=-2，

lim

x→∞

2x-

x+1

=+∞，
故若a=2x-

x+1

在[-1，+∞）上有兩個不等的實根，
a∈（-

17

8

，-2]，
故選：D

點評：本題考查的知識點是函數的單調性，恒成立問題，利用導數求函數的最值，是函數與導數的綜合應用，難度較大．