Question

【題目】已知為拋物線的焦點，為的準線與軸的交點，點在拋物線上，設，，，有以下個結論：

①的最大值是；②；③存在點，滿足.

其中正確結論的序號是______.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由直線與拋物線相切可求得的最大值，可判斷命題①的正誤；利用弦化切的思想和正弦定理邊角互化思想可判斷命題②的正誤；由結合化簡得出，判斷該方程在時是否有根，由此可判斷命題③的正誤，綜合可得出結論.

如下圖所示：

易知點，可設直線的方程為，

由圖形可知，當直線與拋物線相切時，取最大值，

聯立，消去得，，得，

此時，直線的斜率為，所以，的最大值為，命題①正確；

過點作拋物線準線的垂線，垂足為點，則，

由拋物線的定義可知，則，

在中，由正弦定理得，所以，命題②正確；

若存在點，使得，則，可得，則.

由②知

即，

，則，

構造函數，則，，

由零點存在定理可知，函數在區間上有零點，

所以，關于的方程在時有實數解，命題③正確.

因此，正確結論的序號為①②③.

故答案為：①②③.