Question

設函數

f(x)= 1-x &(x∈(-∞，1]

）．
（1）求函數y=f（2x）的定義域；
（2）用函數單調性的定義證明

f(x)= 1-x &(x∈(-∞，1]

）在其定義域上為減函數．

Answer 1

分析：（1）由2x≤1，得x≤

1

2

，由此能求出y=f（2x）的定義域．
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，1]，且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

1-x1

-

1-x2

=

( 1-x1 )2-( 1-x2 )2

1-x1 + 1-x2

=

x2-x1

1-x1 + 1-x2

，由此進行討論，能夠證明f（x）在定義域（-∞，1]上為減函數．

解答：解：（1）由2x≤1，得x≤

1

2

，
所以，y=f（2x）的定義域為(-∞，

1

2

]．
（2）證明：任取x₁，x₂∈（-∞，1]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1-x1

-

1-x2

=

( 1-x1 )2-( 1-x2 )2

1-x1 + 1-x2

=

x2-x1

1-x1 + 1-x2

，

∵x1＜x2≤1

，

∴ 1-x1

＞

0，

1-x2

≥0

x2-x1＞0

∴

f(x1)-f(x2)＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，f（x）在定義域（-∞，1]上為減函數．

點評：本題考查定義域的求法和單調性的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意熟練掌握常規解題方法．