如圖，半徑為30
的圓形（
為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料
，其中點
在圓弧上，點
在兩半徑上，現將此矩形材料卷成一個以
為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設
與矩形材料的邊
的夾角為
，圓柱的體積為
.
（Ⅰ）求關于的函數關系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）
。
解析試題分析：方法一：（Ⅰ）在
中，
，將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱，則其底面周長為，設地面半徑為
，則
，由柱體的體積公式，可知
；（Ⅱ）利用換元法求解，令
，則
，對其求導可知函數
在
上單調遞增，在
上單調遞減，可知當
時，體積取得最大值.
方法二：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，則
，利用勾股定理可得
，設圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即可得出r．
利用V=πr2•x（其中0＜x＜30）即可得出V與x的關系，進而得到關于的函數關系式．
（2）利用（1）可知
（
），再對V求導得V′，得出其單調性，可知在
上是增函數，在
上是減函數，所以當
時，有最大值．
試題解析：【解法1】：（1）
（2）令，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
即當時，體積取得最大值.
【解法2】：（1）連接，在中，設
，則
設圓柱底面半徑為，則
，即
，
，其中.
（2）由
，得;
由
解得
；由
解得
．
因此在上是增函數，在上是減函數．
所以當時，有最大值．
考點：1.導數在最大值、最小值問題中的應用；2.解三角形.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aln x＝
(a為常數)．
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋2y－5＝0垂直，求a的值；
(2)求函數f(x)的單調區間；
(3)當x≥1時，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝ex－kx2，x∈R.
(1)若k＝
，求證：當x∈(0，＋∞)時，f(x)>1；
(2)若f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞增，試求k的取值范圍；
(3)求證：
<e4(n∈N*)．．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（其中
，e是自然對數的底數）．
（Ⅰ）若
，試判斷函數
在區間
上的單調性；
（Ⅱ）若函數有兩個極值點
，
（
），求k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明
．
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，函數
．
時，求
在
內的極大值；
，當
有兩個極值點
時，總有
，求實數
的值.（其中
是
的導函數．）
．
在
上為增函數，求實數
的取值范圍；
且
時，證明： 
.
函數.
單調遞增區間；
時，求函數
.
時,求函數
的單調區間;
,且
,求證:
;
,對于任意
時,總存在
,使
成立,求實數
的取值范圍.
（
為自然對數的底數）.
在
上的單調區間；
，是否存在區間
，使得當
時函數
的值域為
，若存在求出
，若不存在說明理由.