Question

【題目】如圖，已知圓內接四邊形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200．

(1)求線段BD的長與圓的面積．

(2)求四邊形ABCD的周長的最大值．

Answer 1

【答案】（1），圓的面積為；（2）．

【解析】

(1)由題意結合圓的內接四邊形的性質求得各角的角度值，然后在中應用余弦定理求得BD的值，最后結合正弦定理確定圓的半徑即可求解圓的面積；

(2)解法一：設∠CBD=θ，那么00<θ<600，結合正弦定理得到周長關于的函數解析式，利用三角函數的性質確定周長的最大值即可；

解法二：設，，在中應用余弦定理得和均值不等式到x+y的范圍，最后確定周長的范圍即可，注意等號成立的條件.

(1)由于四邊形ABCD為圓內接四邊形，所以∠BCD+∠BAD=1800，

由題設知∠BCD=1200，所以∠BAD=600，

在中由余弦定理得，

．

．

由正弦定理得，

，

．

(2)解法一：設∠CBD=θ，那么00<θ<600，

在中有正弦定理得，

，，

四邊形ABCD的周長=5+ =，

由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200，

所以θ+600=900，即所以θ=300時，四邊形ABCD的周長取得最大值．

解法二：設，，在中由余弦定理得，

，

，

，

．

．

四邊形ABCD的周長，當且僅當時上式取等號，

四邊形ABCD的周長最大值為．