Question

如圖，在直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則二面角的余弦值為          ；點(diǎn)到平面的距離為           。

Answer 1

方法一：如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則。

∵三棱柱為在直三棱柱，
∴面，∴。
過作于，連結(jié)，則。
∴為二面角的平面角。
在中，，，則，得。
而二面角與二面角互補(bǔ)，故二面角的余弦值為。
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，即，∴。
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，為。
方法二：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則，,，，，。

向量為平面的一個法向量。
，。
設(shè)為平面的法向量，則，即，取，得平面的一個法向量為。
得。由圖知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為。
，則點(diǎn)到平面的距離為。