Question

（本小題滿分12分）

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

 （I）當時，求證：；

   （II）若邊上有且只有一個點，使得，求此時二面角的余弦值.

Answer 1

（I）略（II）

解析:

（I）當時，底面為正方形，

又因為,面…………………………2分

又面

…………………………3分

   （II）因為兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸、軸、軸建立坐標系，如圖所示，令，可得

則…………………4分

設，則

要使，只要

即………6分

由，此時。

所以邊上有且只有一個點，使得時，

為的中點，且…………………………8分

設面的法向量

則即解得…………………………10分

取平面的法向量

則的大小與二面角的大小相等

所以

因此二面角的余弦值為…………………………12分