Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一質點從頂點A射向點E（4，3，12），遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將第i﹣1次到第i次反射點之間的線段記為li（i=2，3，4），l1=AE，將線段l1 ， l2 ， l3 ， l4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：根據題意有：
A的坐標為：（0，0，0），B的坐標為（11，0，0），C的坐標為（11，7，0），D的坐標為（0，7，0）；
A1的坐標為：（0，0，12），B1的坐標為（11，0，12），C1的坐標為（11，7，12），D1的坐標為（0，7，12）；
E的坐標為（4，3，12）
（1）l1長度計算
所以：l1=|AE|= =13．
（2）l2長度計算
將平面A1B1C1D1沿Z軸正向平移AA1個單位，得到平面A2B2C2D2；顯然有：
A2的坐標為：（0，0，24），B2的坐標為（11，0，24），C2的坐標為（11，7，24），D2的坐標為（0，7，24）；
顯然平面A2B2C2D2和平面ABCD關于平面A1B1C1D1對稱．
設AE與的延長線與平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2 ， yE2 ， 24）
根據相似三角形易知：
xE2=2xE=2×4=8，
yE2=2yE=2×3=6，
即：E2（8，6，24）
根據坐標可知，E2在長方形A2B2C2D2內．
根據反射原理，E2在平面ABCD上的投影即為AE反射光與平面ABCD的交點．
所以F的坐標為（8，6，0）．
因此：l2=|EF|= =13．
（3）l3長度計算
設G的坐標為：（xG ， yG ， zG）
如果G落在平面BCC1B1；
這個時候有：xG=11，yG≤7，zG≤12
根據反射原理有：AE∥FG
于是：向量 與向量 共線；
即有： =λ
因為： =（4，3，12）； =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（3，yG﹣6，zG）
即有：（4，3，12）=λ（3，yG﹣6，zG）
解得：yG= ，zG=9；
故G的坐標為：（11， ，9）
因為： ＞7，故G點不在平面BCC1B1上，
所以：G點只能在平面DCC1D1上；
因此有：yG=7；xG≤11，zG≤12
此時： =（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）=（xG﹣8，1，zG）
即有：（4，3，12）=λ（xG﹣8，1，zG）
解得：xG= ，zG=4；
滿足：xG≤11，zG≤12
故G的坐標為：（ ，7，4）
所以：l3=|FG|= =
（4）l4長度計算
設G點在平面A1B1C1D1的投影為G’，坐標為（ ，7，12）
因為光線經過反射后，還會在原來的平面內；
即：AEFGH共面
故EG的反射線GH只能與平面A1B1C1D1相交，且交點H只能在A1G'；
易知：l4＞|GG’|=12﹣4=8＞l3 ．
根據以上解析，可知l1 ， l2 ， l3 ， l4要滿足以下關系：
l1=l2；且l4＞l3
對比ABCD選項，可知，只有C選項滿足以上條件．
故本題選：C．