Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上．

(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) y＝3或3x＋4y－12＝0 (2)

【解析】

解　(1)由題設，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在．

設過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，由題意，得＝1，解得k＝0或－，故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)因為圓心在直線y＝2x－4上，

所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.

設點M(x，y)，因為|MA|＝2|MO|，所以＝2，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．

由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|2－1|≤|CD|≤2＋1，

即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.

所以點C的橫坐標a的取值范圍是.