Question

（2012•南京二模）在面積為2的△ABC中，E，F分別是AB，AC的中點，點P在直線EF上，則

PC

•

PB

+

BC

2的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：根據△ABC的面積為2，可得△PBC的面積=1，從而可得PB×PC=

2

sin∠BPC

，故

PC

•

PB

=PB×PCcos∠BPC=

2cos∠BPC

sin∠BPC

，由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，進而可得BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
從而

PC

•

PB

+

BC

2≥

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

，利用導數，可得

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

最大值為2

3

，從而可得

PC

•

PB

+

BC

2的最小值．

解答：解：∵E、F是AB、AC的中點，∴EF到BC的距離=點A到BC的距離的一半，
∴△ABC的面積=2△PBC的面積，而△ABC的面積=2，∴△PBC的面積=1，
又△PBC的面積=

1

2

PB×PCsin∠BPC，∴PB×PC=

2

sin∠BPC

．
∴

PC

•

PB

=PB×PCcos∠BPC=

2cos∠BPC

sin∠BPC

．
由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC．
顯然，BP、CP都是正數，∴BP²+CP²≥2BP×CP，∴BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
∴

PC

•

PB

+

BC

2≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC=

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

令y=

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

，則y′=

2-4cos∠BPC

sin2∠BPC

令y′=0，則cos∠BPC=

1

2

，此時函數在（0，

1

2

）上單調增，在（

1

2

，1）上單調減
∴cos∠BPC=

1

2

時，

4-2cos∠BPC

sin∠BPC

取得最大值為2

3

∴

PC

•

PB

+

BC

2的最小值是2

3

故答案為：2

3

點評：本題考查平面向量的數量積運算，考查三角形面積的計算，考查導數知識的運用，綜合性強．