Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．
（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；
（2）若 ，試判斷函數y=f（x）在R上的零點個數，并求此時y=f（x）所有零點之和的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：

當a=﹣1時，

由f（x）=1得 或

解得 x=0，1，﹣2，即解集為{0，1，﹣2}．

方法二：當a=﹣1時，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0

∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2

即解集為{0，1，﹣2}．

（2）解：

當x≥a時，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵ ，

∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0

得 ，

且

先判斷2﹣a，與 大小：

∵ ，即a＜x1＜x2，故當x≥a時，f（x）存在兩個零點．

當x＜a時，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵ ，

∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0

得 ，

同上可判斷x3＜a＜x4，故x＜a時，f（x）存在一個零點．

綜上可知當 時，f（x）存在三個不同零點．

且

設 ，易知g（a）在 上單調遞增，

故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）

【解析】（1）方法一：化簡分段函數，分段求解方程的根即可，方法二：當a=﹣1時，利用f（x）=1化簡求解即可．（2）化簡分段函數，通過當x≥a時，當x＜a時，求出函數的零點，推出 ，構造函數，利用函數的單調性，求解即可．