Question

設數列為等比數列，數列滿足，，已知，，其中．
（Ⅰ）求數列的首項和公比；
（Ⅱ）當m=1時,求；
（Ⅲ）設為數列的前項和，若對于任意的正整數，都有，求實數的取值范圍．

Answer 1

見解析

（1）根據及，將減少變量，
求得，故；
（2）當m=1時既是等比數列與等差數列組成的差比數列的前n項和，
錯位相減法得之：
（Ⅲ）是數列為等比數列的和； 分類討論
解（Ⅰ）由已知，所以；…………1分
，所以，解得；
所以數列的公比；…………3分（Ⅱ）當時，，…………1分
，………………………①，
，……………………②，
②－①得，………3分
所以，
．…………5分
（Ⅲ），…………1分
因為，所以由得，………2分
注意到，當n為奇數時，；當為偶數時，，
所以最大值為，最小值為．…………4分
對于任意的正整數n都有，
所以，解得