Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，直線(xiàn)l：y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T．
（1）求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P．證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA||PB|，并求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)短軸一端點(diǎn)為C（0，b），左右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），其中c＞0，

則c2+b2=a2；

由題意，△F1F2C為直角三角形，

∴ ，解得b=c= a，

∴橢圓E的方程為 =1；

代人直線(xiàn)l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，

又直線(xiàn)l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，則△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，

∴橢圓E的方程為 =1；

由b2=3，解得x=2，則y=﹣x+3=1，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，1）

（2）

證明：設(shè)P（x0，3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT，

得l′的參數(shù)方程為 ，

代人橢圓E中，得 +2 =6，

整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0；

設(shè)兩根為tA，tB，則有tAtB= ；

而|PT|2= =2 ，

|PA|= =| tA|，

|PB|= =| tB|，

且|PT|2=λ|PA||PB|，

∴λ= = = ，

即存在滿(mǎn)足題意的λ值．

【解析】（1）根據(jù)橢圓的短軸端點(diǎn)C與左右焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成等腰直角三角形，結(jié)合直線(xiàn)l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，利用判別式△=0，即可求出橢圓E的方程和點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)l′∥OT寫(xiě)出l′的參數(shù)方程，代人橢圓E的方程中，整理得出方程，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值．
本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線(xiàn)與橢圓方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查了參數(shù)方程的應(yīng)用問(wèn)題，是難題．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．