Question

（本小題滿分13分）

如圖，在三棱錐中，側(cè)面

與側(cè)面均     為等邊三角形，    ，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

 

(1)略

(2) 二面角的余弦值為．

【解析】證明：

（Ⅰ）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而．

所以為直角三角形，．

又．

所以平面．

（Ⅱ）解法一：

取中點(diǎn)，連結(jié)，由（Ⅰ）知，得．

為二面角的平面角．

由得平面．

所以，又，

故．

所以二面角的余弦值為．

解法二：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則．

的中點(diǎn)，．

．

故等于二面角的平面角．

，

所以二面角的余弦值為．