Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)設(shè)時(shí)，存在，使方程成立，求實(shí)數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.函數(shù)有極大值且為，沒有極小值.（2）

【解析】

（1）通過求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)為，從而可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間，并可得到極大值為，無極小值；（2）由最大值為且可將問題轉(zhuǎn)化為有解；通過假設(shè)，求出的最小值，即為的最小值.

（1）由得：

令，則，解得

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，沒有極小值

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，函數(shù)在處有最大值

又因?yàn)?/span>

方程有解，必然存在，使

，

等價(jià)于方程有解，即在上有解

記，

，令，得

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，

所以實(shí)數(shù)的最小值為