Question

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD，側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，∠DAB＝60°．

（1）證明：∠PBC＝90°；
（2）若PB＝3，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

(1)取AD中點O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB平面POB，
∴BC⊥PB，即∠PBC＝90°.
(2)如圖，

以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O－xyz，則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，由PO＝BO＝，PB＝3，得∠POB＝120°，∴∠POz＝30°，∴P(0，－，)，則＝(－1，，0)，
＝(－1,0,0)，＝(0，，－)，設平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，則，取z＝，則n＝(0,1，)，
設直線AB與平面PBC所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈，n〉|＝.

本試題主要是考查了四棱錐中線面角的求解以及線面的垂直性質定理的運用。
（1）因為取AD中點O，連OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，
又OP∩OB＝O，∴AD⊥平面POB，∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，這樣可得到結論。
（2）建立空間直角坐標系，然后設出法向量坐標，利用向量的夾角公式得到結論。