Question

（2008•寶坻區(qū)一模）下列命題：
（1）若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）；
（2）若銳角α，β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
（3）若f（x）=sin2xcos2x，則f（x）的最小正周期為

π

2

；
（4）要得到函數(shù)y=cos（

x

2

-

π

4

）的圖象只需將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

4

個單位．
其中正確命題的個數(shù)有

2

個．

Answer 1

分析：對于①，聯(lián)系偶函數(shù)和增函數(shù)得到函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)后再解；
對于②，cos α＞sin β要化成同名三角函數(shù)；
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，
④函數(shù)y=cos（

x

2

-

π

4

）的系數(shù)

1

2

要引起特別注意．

解答：解：①由已知可得函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，
且由于θ∈（

π

4

，

π

2

）⇒1＞sinθ＞cosθ＞0，
故有f（sinθ）＜f（cosθ），故①錯；
②由已知角的范圍可得：cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β）⇒α＜

π

2

-β⇒α+β＜

π

2

，故②正確；
③易知f（x）=

1

2

sin4x，其周期為

π

2

，故③正確；
④由于函數(shù)y=cos（

x

2

-

π

4

）=cos(

π

4

-

x

2

)=sin[

π

2

-(

π

4

-

x

2

)]=sin(

x

2

+

π

4

)=sin

x+ π 2

2

則只要得到函數(shù)y=cos（

x

2

-

π

4

）的圖象只需將y=sin

x

2

的圖象向左平移

π

2

個單位得到，故④正確．
故答案為 2

點評：本題是一道綜合題，考查了函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)中的二倍角公式以及三角函數(shù)圖象的變換等．