Question

如圖，某城市設立以城中心為圓心、公里為半徑的圓形保護區，從保護區邊緣起，在城中心正東方向上有一條高速公路、西南方向上有一條一級公路，現要在保護區邊緣PQ弧上選擇一點A作為出口，建一條連接兩條公路且與圓相切的直道．已知通往一級公路的道路每公里造價為萬元，通往高速公路的道路每公里造價是萬元，其中為常數，設，總造價為萬元．

（1）把表示成的函數，并求出定義域；
（2）當時，如何確定A點的位置才能使得總造價最低？

Answer 1

（1），定義域為： ，（2）當取，即A點在O東偏南的方向上，總造價最低．     16分

試題分析：（1）∵與圓O相切于A，
∴OA⊥，在中，，             2分
同理，                                  4分
∴，
∴，          6分
定義域為：                                8分
（2）
           11分
∵，∴，
∴                13分
當且僅當時取等號，即，
又∵，∴，∴        15分
答：當取，即A點在O東偏南的方向上，總造價最低．     16分
點評：對于三角形內的三角函數問題，主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內角和定理，提高邊角、角角轉化意識。對于實際問題也是轉化為三角形內的三角函數問題進一步去求解