Question

記函數f（x）的定義域為D，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標的點為函數f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求實數a，b應滿足的條件；
（2）設點P（x，y）到直線y=x的距離d=

|x-y|

2

．在（1）的條件下，若a=8，記函數f（x）圖象上的兩個不動點分別為A₁，A₂，P為函數f（x）圖象上的另一點，其縱坐標y_P＞3，求點P到直線A₁A₂距離的最小值及取得最小值時點P的坐標．
（3）下述命題“若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明；若不正確，請舉一反例．若地方不夠，可答在試卷的反面．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，即x²+（b-3）x-a=0有兩個互為相反的根，根據方程的根與系數關系可求a，b的關系
（2）若a=8，b=3可得f（x）=

3x+8

x+3

=x可求A₁A₂所在 的直線方程為x-y=0，設P（x，y）則由y=

3x+8

x+3

＞3可得x＜-3，點P到直線A₁A₂的距離d=

|x-y|

2

=|

x2-8

x+3

|×

1

2

=

|x+3+ 1 x+3 -6|

2

（x＜-3）=-(x+3)+

1

-(x+3)

+6，利用基本不等式可求d的最小值及取得最小值的P
（3）令g（x）=f（x）-x則由f（x）為奇函數可得g（x）為奇函數，由奇函數的性質可得g（0）=0，當x≠0時，若g（x）=0，則g（-x）=-g（x）=0，從而可得g（x）=0的零點有奇數個即f（x）=x的根有奇數個

解答：解：（1）函數f(x)=

3x+a

x+b

圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，
∴f（x）=x有兩個互為相反數的根
即x²+（b-3）x-a=0有兩個互為相反的根
∴

b-3=0 -a＜0

∴b=3，a＞0
（2）若a=8，b=3則可得f（x）=

3x+8

x+3

=x
∴x=±2

2

即 A1(2

2

，2

2

)，A2(-2

2

，-2

2

)
∴A₁A₂所在 的直線方程為x-y=0
設P（x，y）則由y=

3x+8

x+3

＞3可得x＜-3
點P到直線A₁A₂的距離d=

|x-y|

2

=|

x2-8

x+3

|×

1

2

=

|x+3+ 1 x+3 -6|

2

（x＜-3）
=

1

2

[-(x+3)+

1

-(x+3)

+6]≥

2 -(x+3)• -1 x+3 +6

2

=4

2

d_min=4

2

，此時x+3=

1

x+3

即x=-4，P（-4，4）
（3）令g（x）=f（x）-x則由f（x）為奇函數可得g（x）為奇函數
由奇函數的性質可得g（0）=0
當x≠0時，若g（x）=0，則g（-x）=-g（x）=0
∴g（x）=0的零點有奇數個即f（x）=x的根有奇數個
若定義在R上的奇函數f（x）圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個為真命題

點評：本題以新定義為切入點，主要考查了方程的根與系數的關系的應用，點到直線的距離公式的應用，及基本不等式在求解函數最值中的應用及條件的配湊，及奇函數性質等知識的綜合應用．