Question

已知f（x）是定義域為R的偶函數，若f（x）的最小正周期是2，且當 x∈[1，2]時，f（x）=x²-2x-1，那么f（x）在[0，1]上的表達式是

f（x）=x²-2x-1

．

Answer 1

分析：根據x∈[1，2]時的表達式，得x∈[-2，-1]時f（-x）=x²+2x-1，結合函數為偶函數得到當x∈[-2，-1]時函數的表達式為f（x）=x²+2x-1．再設x∈[0，1]，由x-2∈[-2，-1]算出f（x-2）=x²-2x-1，最后利用函數的周期為2即可算出f（x）在[0，1]上的表達式．

解答：解：∵當x∈[1，2]時，f（x）=x²-2x-1，
∴當x∈[-2，-1]時，由-x∈[1，2]得f（-x）=（-x）²-2（-x）-1=x²+2x-1，
∵f（x）是定義域為R的偶函數，滿足f（x）=f（-x），
∴當x∈[-2，-1]時，f（x）=f（-x）=x²+2x-1，
設x∈[0，1]，由x-2∈[-2，-1]得f（x-2）=（x-2）²+2（x-2）-1=x²-2x-1，
∵f（x）的最小正周期是2，
∴f（x-2）=f（x），可得當x∈[0，1]時函數的表達式為f（x）=x²-2x-1．
故答案為：f（x）=x²-2x-1

點評：本題給出函數的奇偶性與周期性，在已知區間[1，2]上的表達式情況下求區間[0，1]上的表達式．著重考查了函數的簡單性質及其應用和函數解析式求解的常用方法等知識，屬于基礎題．