Question

28、（1）一次函數f（x）=kx+h（k≠0），若m＜n有f（m）＞0，f（n）＞0，則對于任意x∈（m，n）都有f（x）＞0，試證明之；
（2）試用上面結論證明下面的命題：若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．

Answer 1

分析：（1）實質上是要證明，一次函數f（x）=kx+h（k≠0），x∈（m，n）．若區間兩個端點的函數值均為正，則對于任意x∈（m，n）都有f（x）＞0．之所以具有上述性質是由于一次函數是單調的．因此本問題的證明要從函數單調性入手．
（2）在（1）的結論下，構造函數f（x）=（b+c）x+bc+1．然后對b+c進行分析，分情況進行討論，最后綜合兩種情況證明ab+bc+ca＞-1．

解答：解：（1）證明：
當k＞0時，函數f（x）=kx+h在x∈R上是增函數，
m＜x＜n，f（x）＞f（m）＞0；
當k＜0時，函數f（x）=kx+h在x∈R上是減函數，
m＜x＜n，f（x）＞f（n）＞0．
所以對于任意x∈（m，n）
都有f（x）＞0成立．
（2）將ab+bc+ca+1寫成（b+c）a+bc+1
，構造函數f（x）=（b+c）x+bc+1．
則f（a）=（b+c）a+bc+1．
當b+c=0時，即b=-c，
f（a）=bc+1=-c²+1．
因為|c|＜1，
所以f（a）=-c²+1＞0．
當b+c≠0時，
f（x）=（b+c）x+bc+1為x的一次函數．
因為|b|＜1，|c|＜1，
f（1）=b+c+bc+1=（1+b）（1+c）＞0，
f（-1）=-b-c+bc+1=（1-b）（1-c）＞0．
由問題（1）對于|a|＜1的一切值f（a）＞0，
即（b+c）a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

點評：本題為不等式的證明，通過對一次函數單調性的考查，分別證明f（x）＞0成立．然后在（1）的條件下加入一些條件繼續證明．本題考查對函數性質的靈活掌握和運用，以及對函數單調性的熟練運用．