Question

【題目】如圖，已知圓的方程為，圓的方程為，若動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切．

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）過(guò)直線上的點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別是，，若直線與軌跡交于，兩點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，則

，由此即可得到動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，進(jìn)而得到動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，切點(diǎn)坐標(biāo)分別是，

；則經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線斜方程是，同理經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程是，又兩條切線，相交于 .可得經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方程是，對(duì)分類討論分別求出的值，即可得到的最小值.

（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，∵動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，

∴，且.于是，，

所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.從而，，

所以.故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是，切點(diǎn)坐標(biāo)分別是，

；則經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線斜率，方程是，

經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程是，又兩條切線，相交于 .

則有，所以經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的方程是，

①當(dāng)時(shí)，有，，，，則；

②當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，整理得；

設(shè)坐標(biāo)分別為，，則，

所以，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最小值．