Question

【題目】各項均為非負整數的數列{an}同時滿足下列條件：

①a1=m(mN*)；②ann-1(n≥2)；③n是a1+a2+‥+an的因數（n ≥1）．

（Ⅰ）當m=5時，寫出數列{an}的前五項；

（Ⅱ）若數列{an}的前三項互不相等，且n≥3時，an為常數，求m的值；

（Ⅲ）求證：對任意正整數m，存在正整數M，使得n≥M時，an為常數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見詳解.

【解析】

（Ⅰ）根據題意，即可由題意求得結果；

（Ⅱ）對的取值進行分類討論，即可容易求得結果；

（Ⅲ）根據已知條件，結合題意，利用之間的關系，即可進行證明.

（Ⅰ）當時，，

，且是的因數，故可得；

，且是的因數，故可得；

，且是的因數，故可得；

，且是的因數，故可得；

綜上可得：.

（Ⅱ）（1）當時，

若，則，

且對，都為整數，故；

若，則，

且對，都為整數，故；

（2）當時，

若，則，

且對，都為整數，故，不符合題意；

若，則，

且對，都為整數，故；

綜上所述：的值為.

（Ⅲ）證明：對于，令

則

又對每一個都是正整數，

故其中至多出現個.

故存在正整數，當時，必有

當時，則

故

則

有題設可知

，

又以及均為整數，

都為常數.

故可得為常數.

故對任意正整數m，存在正整數M，使得n≥M時，an為常數．