Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的右焦點為F（2，0），點P（2， ）在橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點F的直線，交橢圓C于A、B兩點，點M在橢圓C上，坐標原點O恰為△ABM的重心，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得c=2，左焦點F1（﹣2，0），|PF|= ，
所以|PF1|= = ，即2a=|PF|+|PF1|=2 ，
即a2=6，b2=a2﹣c2=2，
故橢圓C的方程為 + =1；
（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，
設l：y=k（x﹣2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
將l的方程代入C得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
可得x1+x2= ，
所以AB的中點N （ ， ），
由坐標原點O恰為△ABM的重心，可得M （ ， ）．
由點M在C上，可得15k4+2k2﹣1=0，
解得k2= 或﹣ （舍），即k=± ．
故直線l的方程為y=± （x﹣2）．
【解析】（Ⅰ）由題意可得c=2，|PF|= ，運用勾股定理可得|PF1|，再由橢圓的定義可得2a，由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）顯然直線l與x軸不垂直，設l：y=k（x﹣2），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），代入橢圓方程，運用韋達定理和三角形的重心坐標公式可得M的坐標，代入橢圓方程，解方程即可得到所求直線的方程．