Question

一個口袋中有個白球和個紅球且，每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎.
（Ⅰ）試用含的代數式表示一次摸球中獎的概率；
（Ⅱ）若，求三次摸球恰有一次中獎的概率；
（Ⅲ）記三次摸球恰有一次中獎的概率為，當為何值時，取最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）先求出總事件為，兩球顏色相同的事件有，然后得到結果；
（Ⅱ）先求出一次模球中獎的概率，又三次是獨立重復試驗，故可求得三次摸球中恰有一次中獎的概率；
（Ⅲ）先表示出三次摸球中恰有一次中獎的概率，再根據單調性就可求得的最大值.
試題解析：（Ⅰ）一次摸球從個球中任選兩個，有種選法，其中兩球顏色相同有 種選法；
一次摸球中獎的概率,      4分
（Ⅱ）若，則一次摸球中獎的概率是，三次摸球是獨立重復實驗，三次摸球中恰有一次中獎的概率是 .           8分
（Ⅲ）設一次摸球中獎的概率是，則三次摸球中恰有一次中獎的概率
是，，
,
在是增函數，在是減函數，
當時，取最大值 ,          10分
 ，
，故時，三次摸球中恰有一次中獎的概率最大.          12分
考點：1.古典概型； 2.獨立重復試驗.