Question

給出下列命題：
①|

a

-

b

|≤|

a

|-|

b

|；②

a

，

b

共線，

b

，

c

平，則

a

與

c

為平行向量；③

a

，

b

，

c

為相互不平行向量，則（

b

-

c

）

a

-（

c

-

a

）

b

與

c

垂直；④在△ABC中，若a²taanB=b²tanA，則△ABC一定是等腰直角三角形；⑤

a

•

b

=

a

•

c

，則

a

⊥（

b

-

c

）   
其中錯誤的有

 

．

Answer 1

分析：根據向量減法的三角形法則，可以判斷①的真假；考慮0向量的特殊性，即可判斷②的真假；由于數量沒有方向，故不存在數量與向量平行，由此判斷③的真假；利用正弦定理的邊角互化，結合倍角公式及三角函數的性質，我們可以判斷④的真假；根據向量加法的分配律，及向量垂直的性質，可以判斷⑤的正誤．進而得到答案．

解答：解：根據向量減法的三角形法則我們可得：|

a

-

b

|≤|

a

|-|

b

|，當向量

a

與

b

反向，且|

a

|＞|

b

|時取等號，故①正確；
若

b

=

0

，則當

a

，

b

共線，

b

，

c

平行均成立時，則

a

與

c

為也可能不平行，故②錯誤；
∵由于（

b

-

c

）

a

-（

c

-

a

）

b

是一個數量，故③錯誤；
在△ABC中，若a²tanB=b²tanA
則a2

sinB

cosB

=b2

sinA

cosA

，即a2

b

cosB

=b2

a

cosA

即

sinA

cosB

=

sinB

cosA

，即sin2A=sin2B
則2A=2B，或2A+2B=π
則△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④錯誤；
若

a

•

b

=

a

•

c

，則

a

•

b

-

a

•

c

=0，即

a

•（

b

-

c

）=0，則

a

⊥（

b

-

c

），故⑤正確；
故答案為：②③④

點評：本題考查的知識點是平行向量與共線向量，數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，三角形形狀的判斷，向量加法的三角形法則，比較綜合的考查了平面向量的運算法則和運算性質，屬于基礎題．