Question

已知動點P與平面上兩定點A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率的積為定值-

1

2

．
（1）試求動點P的軌跡方程C；
（2）設直線l：y=kx+1與曲線C交于M．N兩點，當|MN|=

4 2

3

時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出P的坐標，利用動點P與平面上兩定點A(-

2

，0)，B(

2

，0)連線的斜率的積為定值-

1

2

，建立方程，化簡可求動點P的軌跡方程C．
（Ⅱ）直線l：y=kx+1與曲線C方程聯立，利用韋達定理計算弦長，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設動點P的坐標是（x，y），由題意得：k_PAk_PB=-

1

2

∴

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

，化簡，整理得

x2

2

+y2=1
故P點的軌跡方程是

x2

2

+y2=1，（x≠±

2

）
（Ⅱ）設直線l與曲線C的交點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2+2y2=2

得，（1+2k²）x²+4kx=0
∴x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁ x₂=0，
|MN|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2

3

，
整理得，k⁴+k²-2=0，解得k²=1，或k²=-2（舍）
∴k=±1，經檢驗符合題意．
∴直線l的方程是y=±x+1，即：x-y+1=0或x+y-1=0

點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．