Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ （m∈R）在區間[1，e]取得最小值4，則m= ．

Answer 1

【答案】﹣3e
【解析】解：函數 的定義域為（0，+∞），

．

當f′（x）=0時， ，此時x=﹣m，如果m≥0，則無解．

所以，當m≥0時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，m=﹣4，矛盾舍去；

當m＜0時，

若x∈（0，﹣m），f′（x）＜0，f（x）為減函數，若x∈（﹣m，+∞），f′（x）＞0，f（x）為增函數，

所以f（﹣m）=ln（﹣m）+1為極小值，也是最小值；

①當﹣m＜1，即﹣1＜m＜0時，f（x）在[1，e]上單調遞增，所以f（x）min=f（1）=﹣m=4，所以m=﹣4（矛盾）；

②當﹣m＞e，即m＜﹣e時，f（x）在[1，e]上單調遞減，f（x）min=f（e）=1﹣ =4．所以m=﹣3e．

③當﹣1≤﹣m≤e，即﹣e≤m≤1時，f（x）在[1，e]上的最小值為f（﹣m）=ln（﹣m）+1=4．此時m=﹣e3＜﹣e（矛盾）．

綜上m=﹣3e．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．