Question

(12分) 如圖，設(shè)P是圓x²＋y²＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且MD＝PD.

（Ⅰ）當(dāng)P在圓上運(yùn)動時，求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度．

Answer 1

(1)＋＝1.(2)AB＝.

試題分析：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(x_P，y_P)，然后利用MD＝PD,把P點坐標(biāo)用M點的坐標(biāo)表示出來，代入圓的方程即可得到動點M的軌跡方程.
(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(x_P，y_P)，
由已知得　∵P在圓上，
∴x²＋(y)²＝25，
即軌跡C的方程為＋＝1.
(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝ (x－3)，
設(shè)直線與C的交點為A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，將直線方程y＝ (x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x²－3x－8＝0.
∴x₁＝，x₂＝.
∴線段AB的長度為
AB＝
＝
＝＝.
點評：本小題屬于相關(guān)點法求軌跡方程要把主動點的坐標(biāo)用被動點的坐標(biāo)表示出來，然后再代入主動點所在曲線的方程即可求出動點的軌跡方程.在涉及直線與橢圓相交求弦長時要借助韋達(dá)定理及弦長公式，一般不考慮求交點坐標(biāo).